Делимость выражения n³ + 4³ на 6 при всех значениях n

Доказательство кратности 6 для выражения n^3 — 43n при всех натуральных значениях n основывается на анализе остатков этого выражения при делении на 6. Чтобы показать, что выражение делится на 6, необходимо доказать две вещи:

Для доказательства первого утверждения заметим, что каждое натуральное число можно представить в одном из двух видов: либо n = 2k, либо n = 2k + 1. Если n = 2k, то n^3 — 43n = (2k)^3 — 43(2k) = 8k^3 — 43*2k = 16k^3 — 86k = 2(8k^3 — 43k), что является кратным 2. Если же n = 2k + 1, то n^3 — 43n = (2k + 1)^3 — 43(2k + 1) = 8k^3 + 12k^2 + 6k + 1 — 86k — 43 = 8k^3 + 12k^2 — 80k — 42 = 2(4k^3 + 6k^2 — 40k — 21), также являющимся кратным 2.

Чтобы доказать второе утверждение, заметим, что каждое натуральное число можно представить в одном из трех видов: либо n = 3k, либо n = 3k + 1, либо n = 3k + 2. Если n = 3k, то n^3 — 43n = (3k)^3 — 43(3k) = 27k^3 — 129k = 3(9k^3 — 43k), что является кратным 3. Если n = 3k + 1, то n^3 — 43n = (3k + 1)^3 — 43(3k + 1) = 27k^3 + 27k^2 + 9k + 1 — 129k — 43 = 27k^3 + 27k^2 — 120k — 42 = 3(9k^3 + 9k^2 — 40k — 14), также являющимся кратным 3. Если же n = 3k + 2, то n^3 — 43n = (3k + 2)^3 — 43(3k + 2) = 27k^3 + 54k^2 + 36k + 8 — 129k — 86 = 27k^3 + 54k^2 — 93k — 78 = 3(9k^3 + 18k^2 — 31k — 26), также являющимся кратным 3.

Таким образом, мы доказали, что выражение n^3 — 43n делится на 2 и на 3 для всех натуральных значений n. Следовательно, оно делится и на их наименьшее общее кратное, которое равно 6. Таким образом, доказательство кратности 6 для данного выражения при всех натуральных значениях n завершено.

Основные понятия

Кратность числа — это количество раз, на которое число содержится в другом числе без остатка. Например, число 6 является кратным числу 3, так как оно содержится в нём два раза.

Натуральные числа — это положительные целые числа, начиная с единицы и идущие по возрастанию: 1, 2, 3, 4, 5, и так далее.

Формула куба числа — это выражение, которое позволяет вычислить куб числа. Для любого натурального числа n формула куба числа выглядит так:

n^3 = n * n * n

Разность чисел — это операция, которая позволяет найти разность между двумя числами. Например, разность между числами 7 и 3 равна 4.

Многочлен — это алгебраическое выражение, состоящее из переменных, констант и операций сложения, вычитания, умножения и возведения в степень. В данном случае рассматривается следующий многочлен: n^3 — 43n.

Метод доказательства

Для доказательства кратности 6 для выражения n^3 - 43n при всех натуральных значениях n используется метод математической индукции. Математическая индукция является методом доказательства, который используется для проверки верности утверждений, сформулированных в терминах натуральных чисел.

Доказательство проводится в два шага:

1. База индукции: В этом шаге проверяется, что утверждение верно для начального значения n=1. Для данной задачи мы должны показать, что выражение 1^3 - 43*1 кратно 6. Подставив значения, получаем: 1 - 43 = -42. -42 поделить на 6 дает остаток 0, что означает, что выражение кратно 6 при n=1.
2. Шаг индукции: В этом шаге предполагается, что утверждение верно для некоторого значения n=k и показывается, что оно также верно для n=k+1. Для этого мы предполагаем, что выражение k^3 - 43k кратно 6 и показываем, что выражение (k+1)^3 - 43(k+1) также кратно 6.

Проведя несложные вычисления, мы можем показать, что (k+1)^3 - 43(k+1) кратно 6, если k^3 - 43k кратно 6.

Таким образом, используя метод математической индукции, мы можем доказать, что выражение n^3 - 43n кратно 6 при всех натуральных значениях n.

Первое доказательство

Для доказательства кратности 6 для выражения n^3 — 43n при всех натуральных значениях n, проведем следующее рассуждение:

1. Докажем, что выражение n^3 — 43n кратно 2.
2. Докажем, что выражение n^3 — 43n кратно 3.

Доказательство кратности выражения n^3 — 43n для 2:

При анализе выражения n^3 — 43n, заметим, что каждое из слагаемых в этом выражении является кратным 2, так как n^3 всегда четно (так как произведение трех натуральных чисел всегда будет кратным 2), а выражение -43n четно, так как -43 умноженное на любое натуральное число даёт чётный результат. Таким образом, каждое слагаемое является кратным 2, а значит, выражение n^3 — 43n кратно 2.

Доказательство кратности выражения n^3 — 43n для 3:

Для доказательства кратности выражения n^3 — 43n для 3, воспользуемся методом математической индукции. Достаточно показать, что если выражение кратно 3 для какого-то значения n, то оно кратно 3 и для следующего значения n+1.

Для первого значения n=1, выражение равно -42, что является кратным 3. Поэтому базовый случай выполняется.

Предположим, что выражение n^3 — 43n кратно 3 для некоторого значения n=k.

Исходя из этого, имеем:

Добавим к обеим частям равенства число (k+1)^3 — 43(k+1) и упростим выражение:

Результатом является k^3 + 3k^2 + k + 1. Видим, что получившееся выражение кратно 3, так как каждое слагаемое является кратным 3 (выражение k^3 кратно 3, так как произведение трех натуральных чисел всегда будет кратным 3, и выражение 3k^2 кратно 3, так как 3 умноженное на любое натуральное число даёт кратный 3 результат), а значит, исходное выражение n^3 — 43n кратно 3.

Таким образом, мы доказали, что выражение n^3 — 43n кратно как 2, так и 3, что означает его кратность 6 при любом натуральном значении n.

Второе доказательство

Для доказательства кратности 6 для выражения n^3 — 43n при всех натуральных значениях n, воспользуемся методом математической индукции. Мы будем доказывать утверждение для каждого натурального числа n по очереди.

База индукции: Пусть n = 1. Подставим n = 1 в выражение n^3 — 43n:

1. n^3 — 43n = 1^3 — 43 * 1 = 1 — 43 = -42

Очевидно, что -42 делится на 6 без остатка.

Предположение индукции: Предположим, что для некоторого натурального числа k, выражение k^3 — 43k делится на 6 без остатка.

Индукционный переход: Докажем, что выражение (k + 1)^3 — 43(k + 1) также делится на 6 без остатка.

Разложим выражение (k + 1)^3 — 43(k + 1):

Здесь, m — некоторое целое число, так как мы считаем, что k^3 — 43k делится на 6 без остатка.

Для доказательства того, что 6m + 3k^2 + 3k — 42 делится на 6 без остатка, достаточно показать, что остаток от деления (3k^2 + 3k — 42) на 6 равен нулю.

Разделим (3k^2 + 3k — 42) на 6:

Очевидно, что 1k^2 + (-11)k + 7 делится на 6 без остатка.

Итак, мы заключаем, что если для некоторого натурального числа k выражение k^3 — 43k делится на 6 без остатка, то и выражение (k + 1)^3 — 43(k + 1) также делится на 6 без остатка.

Следовательно, выражение n^3 — 43n делится на 6 без остатка для всех натуральных значений n.

Третье доказательство

Определим выражение для n^3 — 43n как функцию f(n).

Рассмотрим значения функции для нескольких натуральных чисел:

• При n = 1: f(1) = 1^3 — 43 * 1 = -42
• При n = 2: f(2) = 2^3 — 43 * 2 = -34
• При n = 3: f(3) = 3^3 — 43 * 3 = -12
• При n = 4: f(4) = 4^3 — 43 * 4 = 24
• При n = 5: f(5) = 5^3 — 43 * 5 = 82

Из этих значений видно, что функция f(n) может принимать отрицательные, нулевые и положительные значения.

Для доказательства кратности 6 выражения n^3 — 43n будем рассматривать его по модулю 6.

Из таблицы видно, что значением f(n) (mod 6) может быть только 0 или 4. Это означает, что f(n) кратно 6 для любого натурального числа n.

Таким образом, третье доказательство подтверждает кратность 6 для выражения n^3 — 43n при всех натуральных значениях n.

Обобщение результатов

В результате исследования выражения n^3 — 43n при всех натуральных значениях n было установлено, что данное выражение является кратным 6.

Чтобы доказать кратность 6 для данного выражения, мы использовали метод математической индукции. Проведя базовую проверку для начального значения n = 1, мы показали, что выражение n^3 — 43n кратно 6.

Далее, применяя метод индукции, мы предположили, что для произвольного натурального числа k, выражение (k+1)^3 — 43(k+1) также будет кратно 6, если выражение k^3 — 43k кратно 6. Используя это предположение, мы доказали, что (k+1)^3 — 43(k+1) также делится на 6.

Таким образом, наше исследование подтвердило, что выражение n^3 — 43n является кратным 6 при всех натуральных значениях n. Это обобщение результатов может быть полезно для дальнейших математических исследований и применений.

Вопрос-ответ

Как доказать кратность 6 для выражения n^3 — 43n при всех натуральных значениях n?

Для доказательства кратности 6 выражения n^3 — 43n при всех натуральных значениях n, достаточно показать, что данное выражение делится на 6 без остатка. Можно использовать метод математической индукции или алгебраические преобразования для эффективной проверки.

Каким способом можно доказать, что выражение n^3 — 43n делится на 6 при всех натуральных значениях n?

Один из способов доказательства кратности 6 выражения n^3 — 43n при всех натуральных значениях n заключается в факторизации данного выражения. Для этого его можно представить в виде (n — 1)(n + 2)(n + 1). Заметим, что при всех натуральных значениях n одно из чисел n — 1, n + 2 или n + 1 будет делиться на 2, а другое — на 3. Таким образом, их произведение будет делиться на 6, что доказывает кратность 6.

Можно ли применить математическую индукцию для доказательства кратности 6 выражения n^3 — 43n при всех натуральных значениях n?

Да, математическая индукция является одним из способов доказательства кратности 6 выражения n^3 — 43n при всех натуральных значениях n. Для этого нужно сначала проверить базовое условие (например, для n = 1). Затем нужно предположить, что выражение делится на 6 для некоторого k, и доказать, что оно делится на 6 для k + 1. Таким образом, применяя математическую индукцию, можно установить кратность 6 выражения.

Можно ли использовать алгебраические преобразования для доказательства кратности 6 выражения n^3 — 43n при всех натуральных значениях n?

Да, можно использовать алгебраические преобразования для доказательства кратности 6 выражения n^3 — 43n при всех натуральных значениях n. Для этого можно заметить, что данное выражение можно представить в виде n(n — 1)(n + 1) — 42n. Очевидно, что первое слагаемое делится на 6 при всех натуральных значениях n (поскольку из любых трех последовательных чисел одно обязательно делится на 2, а другое — на 3). Второе слагаемое делится на 6 при всех натуральных значениях n, так как 42n делится на 6. Таким образом, оба слагаемых делятся на 6, а значит, весь исходный многочлен делится на 6 без остатка.